С 2022 года в ЕГЭ появилось новое задание: составление уравнения функции по графику. Основная идея решения - используя координаты точек, составить систему уравнений и вычислить неизвестные параметры функции. Но, как и в большинстве хорошо составленных заданий, в этих заданиях тоже есть свои фишки. Именно о них поговорим подробно. Задания взяты с сайта РешуЕГЭ
1) Линейная функция.
Пример задания:
На рисунке изображён график функции f (x) = kx + b. Найдите f (- 5) .
Решение.
1 вариант - нахождение параметров k и b через систему уравнений. Точки уже выделены на графике: (3;4) и (-1;-3). Подставим координаты точек в формулу:
4=3k+b b=4-3k b=4-3k k=7/4
-3=-k+b -3=-k+4-3k 4k=7 b= -5/4
f(-5) = 7/4 * (-5) -5/4 = -40/4 = -10
2 вариант. Небольшой секрет. Вспомним, что угловой коэффициент k = tg(a) = y/x.
Из рисунка видно, что k = 7/4. Теперь достаточно подставить найденное значение k и координаты одной из точек графика в формулу и вычислить параметр b.
Ответ: -10
Замечание. При использовании свойств функции важно не забыть о том, что для возрастающей функции k > 0, а для убывающей k < 0. Например, в приведенном ниже примере угловой коэффициент желтой прямой k = -5, а у синей k = -1
2) Квадратичная функция
Основной способ решения этих заданий - составление системы уравнений.
Пример задания
На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите значение  .
Выберем координаты трех точек графика. Например (2; -2), (4; 4), (6; 6). Подставим их в формулу функции
4/a + 2b + c = -2 4/a = -2 - 2b - c 4/a = -2 - 2b - c 4/a = -2 - 2b - c 4/a = -2 - 2b - c 4/a = -2 - 2b - c 4/a = -2 - 2b - c a = -2
16/a + 4b + c = 4 4(-2 - 2b - c) + 4b + c = 4 -8 - 8b - 4c + 4b + c = 4 -4b - 3c = 12 4b = -12 - 3c 4b = -12 - 3c 4b = -12 - 3c b = 6
36/a + 6b + c = 6 9(-2 - 2b - c) + 6b + c = 6 -18 - 18b - 9c + 6b + c = 6 -12b - 8c = 24 3(-12 - 3c) + 8c = -24 -36 - c = -24 c = -12 c = -12
Значит, функция задана формулой f(x) = -0.5x2 + 6x - 12. f(0) = -12
Ответ: -12
Если координата пересечения параболы с осью у является целым числом, то решение задачи можно упростить
Пример задания
На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение  .
По графику видно, что при х = 0 функция равна 8. f(0) = c, значит, с = 8.
Так как параметр с легко находится устно, то достаточно подставить координаты двух точек графика для нахождения параметров а и b. Попробуйте сделать это самостоятельно.
a = -4, b = -1, c = 8. f(-5) = 6,75
Ответ: 6,75
3) Дробно-рациональная функция
Пример задания
На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите 
Решение. Для этого вида функций стоит обратить внимание на асимптоты графика.
Вертикальная асимптота х = 3 - это значение переменной х, при которой знаменатель дроби обращается в ноль.
x + b = 0, x = 3, b = -3
Горизонтальная асимптота у = 3 - это то значение функции, к которому стремится f(x). Так как значение дроби стремится к нулю при бесконечно больших значениях х, то значение функции f(x) стремится к с. То есть горизонтальная асимптота - это значение с, с = 3.
Остается подставить в формулу функции значения b = -3, c = 3 и координату одной точки графика, чтобы найти значение параметра а.
а = 2, f(-13) = 2,875
Ответ: 2,875
Еще проще в решении задачи следующего типа:
На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите c.
Так как параметр с входит в знаменатель дроби, то достаточно воспользоваться свойством вертикальной асимптоты: при х = 5 знаменатель дроби равен нулю.
5 + с = 0, с = -5
Ответ: -5
Если нужно найти какой-либо другой параметр или значение функции в определенной точке, то оставшиеся параметры легко найти с помощью системы уравнений, подставив в функцию координаты двух точек графика, находящихся в узлах клетки, и параметра с.
4) Функция, содержащая модуль
Пример задания
На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения 
Несмотря на страшный вид этого задания, решается оно устно, одним взглядом на график (метод одного взгляда))))
Разберемся с графиком. Почему он "ломается" в точке (1; 3)? Вспомним, как раскрывается модуль.
1) При bx +c > 0 |bx + c| = bx + c
2) При bx +c < 0 |bx + c| = -bx - c
3) При bx +c = 0 |bx + c| = 0
Первые два случая раскрытия модуля дадут левую и правую веточки графика, а третий случай - точку перелома графика.
То есть, в точке перелома графика bx +c = 0. В этом и содержится идея решения задач подобного типа.
В точке перелома графика модуль равен нулю!
Значит, корнем уравнения bx +c = 0 будет абсцисса точки перелома графика: х = 2.
Ответ: 2
Сложнее решить уравнение ax + d = 0
Пример задания.
На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения 
Решение. Вспомним про секреточку: в точке перелома графика (1;3) модуль равен нулю! То есть, можно перейти к следующей системе уравнений:
b + c = 0 c = -b
a + d = 3 d = 3 - a
Подставим найденные значения c и d, а также координаты двух точек графика (0;-1) и (3;-1) в формулу функции
-1 = 0 - |0 - b| + 3 - a a + |b| = 4 a + |b| = 4 a + |b| = 4 a = 1
-1 = 3a - |3b - b| + 3 - a 2a - 2|b| = -4 a - |b| = -2 2a = 2 |b| = 3
d = 3 - a = 2.
Значения b и с составляют пары (3; -3) и (-3; 3), но они не нужны для дальнейшего решения.
Решим уравнение ax + d = 0
x + 2 = 0
x = -2
Ответ: -2
Встретилось одно задание, в котором точка перелома не попадает на узел клетки.
На рисунке изображён график функции вида где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения
Во-первых, нужно найти абсциссу точки перелома графика. Найти ее можно как точку пересечения убывающей функции y = kx + m и прямой у= -5. Составим уравнение убывающей функции.
Коэффициент k найдем по графику убывающей линейной функции: k = - 4. Значение параметра m вычислим, подставив в формулу y = kx + m координату точки (-1; -3)
-4*(-1) + m = -3
m + 4 = -3
m = -7
Значит, убывающая линейная функция описывается формулой у = -4х - 7. Найдем точку пересечения этой функции с прямой у = -5
-4х - 7 = -5
-4х = 2
х = -0,5
Значит, координата точки перелома графика (-0,5; -5).
Дальше решаем по алгоритму: в точке перелома графика bx + c = 0, ax + d = -5.
-0.5b + c = 0 c = 0.5b
-0.5a + d = -5 d = 0.5a - 5
Подставим значения параметров с и d, а также координаты точек графика (-1; -3) и (1; -5) в формулу функции:
-a + |-b + 0.5b| + 0.5a - 5 = -3 -0.5a + |-0.5b| = 2 -a + |b| = 4 |b| = 4 + a
a + |b + 0.5b| + 0.5a - 5 = -5 1.5a + |1.5b| = 0 a + |b| = 0 a + 4 + a = 0 2a = -4 a = -2
d = 0.5a - 5 = -1 - 5 = -6
Теперь можно подставить значения а и b в уравнение ax + b = 0 и вычислим значение х
-2х - 6 = 0
-2х = 6
х = -3
Ответ: -3
5) Тригонометрическая функция
6) Смешанная функция
| 
Главная 