Теорема Менелая
Элементы доказательства теоремы Менелая.
1. Дополнительное построение СЕ || AB
2. ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 ⇒ ΔECK ∼ ΔMAK ⇒ EC/MA = CK/AK = EK/MK
3. ∠5 = ∠6 и ∠7 = ∠8 ⇒ ΔECN ∼ ΔMBN ⇒ EC/MB = CN/BN = EN/MN
4. Из пункта 2. получаем: EC = (CK/AK) ·MA ⇒ EC/MB = (CK/AK) · (MA/MB) = CN/BN, последнее равенство получено из пункта 3 ;
5. Переписав последнее равенство в 4-ом пункте получаем: (CK/AK) · (MA/MB) · (BN/CN) = 1
Задачи на ПОСТРОЕНИЕ и ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОТРЕЗКОВ
1.1 Точка M лежит на ребре AB треугольной пирамиды ABCD, причём AM:MB=1:2.
a) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и середины рёбер BC и AD.
6) B каком отношении плоскость сечения делит ребро CD?
1.2. Точка М —середина ребра AD треугольной пирамиды ABCD. Точки К H L лежат на прямых AB H AC соответственно, причём B—середина отрезка AK, а С — середина отрезка AL.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, K H L.
6) B каком отношении плоскость сечения делит ребро BD?
1.3. Точки M H N —середины рёбер соответственно AB H BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 .
a) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, N и D1.
6) B каком отношении плоскость сечения делит ребро 14311?
1.4. Точка M — середина ребра CD параллелепгшедаАВСБА1В1С1П1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, Al H С,.
6) Пусть секущая плоскость пересекает прямую DD1 B точке Р. Найдите отношение PD : РПГ
1.5. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD с цен- тром 0. Точка М лежит на отрезке SO, причём ОМ :MS = 1 :2.
a) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AM параллельно прямой BD.
6) B каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?
1.6. Основание пирамиды SABCD —llapaJIJIf'JIOI'pah[M ABCD с цен- тром 0. Точка М — середина отрезка A0.
a) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым SA H ВВ.
6) B каком отношении плоскость сечения делит ребро SC? 1.?. Точки M H N —середииы рёбер соответственно CC1 H AB тре- угольной призмы АВСА1В1С1.
| 
Главная 
