В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB = AF : FC = 1 : 5.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

 

Решение.

а) Из условия следует, что  Треугольники AMG и AMF равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому 

б) Проведём высоту MH боковой грани AMB. Из прямоугольного треугольника AHM находим

В прямоугольном треугольнике MHG катет HG равен 4. Поэтому

Треугольник AGF равносторонний, поэтому  В равнобедренном треугольнике GMF проведём высоту MK. Она делит отрезок GF пополам. Из прямоугольного треугольника MKG получаем

Следовательно, площадь треугольника GMF равна 

 

Ответ: