Прорвемся! - Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

https://ege.sdamgia.ru/test?filter=all&category_id=285

1. Точка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а) Докажите, что угол между прямыми BE и AD равен углу CBE.

б) Найдите угол между прямыми BE и AD.

Решение.

Примем ребро куба за единицу. Тогда CE= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

а) Прямая AD параллельна прямой BC, значит, искомый угол равен углу CBE.

б) Из прямоугольного треугольника CBE с прямым углом C имеем:

$тангенс \angle CBE= дробь, числитель — CE, знаменатель — BC = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,$

тогда

$\angle CBE=\arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .$

Ответ также может быть представлен в следующем виде: $\angle CBE=\arcsin дробь, числитель — корень из 5, знаменатель — 5$ или $\angle CBE=\arccos дробь, числитель — 2 корень из 5, знаменатель — 5 .$

Ответ: arctg 0.5

2. На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE : EC₁ = 1 : 2.

а) Пусть точка F делит ребро BB₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины B₁. Докажите, что угол между прямыми BE и AC₁ равен углу AC₁F.

б) Найдите угол между прямыми BE и AC₁.

Решение

Примем ребро куба за Тогда AC_1=a корень из 3.

Поскольку CE:EC_1=1:2, получаем: CE= дробь, числитель — CC_1, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 a и C_1E=CC_1 минус CE= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 a.

а) Проведем через точку C_1 прямую, параллельную BE. Она пересекает ребро BB_1 в точке причем треугольники BCE и C_1FB_1 равны. Искомый угол равен углу AC_1F (или смежному с ним).

б) В прямоугольном треугольнике C_1FB_1 с прямым углом B_1 имеем:

C_1F=BE= корень из BC в степени 2 плюс CE в степени 2 = дробь, числитель — a корень из 10, знаменатель — 3

В прямоугольном треугольнике ABF с прямым углом имеем:

AF= корень из AB в степени 2 плюс BF в степени 2 = корень из AB в степени 2 плюс C_1E в степени 2 = дробь, числитель — a корень из 13, знаменатель — 3

В треугольнике AC_1F получаем:

$AF в степени 2 =AC_1 в степени 2 плюс C_1F в степени 2 минус 2 умножить на косинус \angle AC_1F умножить на AC_1 умножить на C_1F$

откуда

$косинус \angle AC_1F= дробь, числитель — AC_1 в степени 2 плюс C_1F в степени 2 минус AF в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на AC_1 умножить на C_{1F= дробь, числитель — 3a в степени 2 плюс \dfrac10a в степени 2 , знаменатель — 9 минус \dfrac13a в степени 2 92 умножить на a корень из 3 умножить на \dfraca корень из { 103 }= дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из 30 = дробь, числитель — 2 корень из 30, знаменатель — 15 .$

Тогда $\angle AC_1F=\arccos дробь, числитель — 2 корень из { 30, знаменатель — 15 }.$

Ответ может быть представлен и в другом виде: $\angle AC_1F=\arcsin дробь, числитель — корень из 105, знаменатель — 15$ или $\angle AC_1F=\arctg дробь, числитель — корень из 14, знаменатель — 4 }.$

Ответ: $\arccos дробь, числитель — 2 корень из 30, знаменатель — 15 .$

3. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 8 корень из 2. Высота призмы равна 6.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AC₁ и параллельная прямой CB₁ проходит через середину ребра A₁B₁.

б) Найдите угол между прямыми AC₁ и CB₁.

Решение.

Достроим призму до прямоугольного параллелепипеда с основанием ACBD и верхним основанием A_1C_1B_1D_1.

а) Прямая AD_1 параллельна прямой CB_1, поэтому плоскость C_1AD_1 || CB_1. A_1C_1B_1D_1  — прямоугольник, поэтому его диагонали пересекают друг друга посередине, значит плоскость C_1AD_1 проходит через середину ребра A_1B_1.

б) Прямая AD_1 параллельна прямой CB_1, поэтому искомый угол C_1AD_1. Из прямоугольного треугольника ACB находим: AC=8. Значит, тоже равно 8. Из прямоугольных треугольников ACC_1 и ADD_1 получаем: AC_1=AD_1=10, а диагональ C_1D_1 квадрата A_1C_1B_1D_1 равна 8 корень из 2. Из равнобедренного треугольника C_1AD_1 получаем:

$\angle C_1AD_1=2\arcsin дробь, числитель — C_1D_1, знаменатель — 2AC_1 =2\arcsin дробь, числитель — 2 корень из 2, знаменатель — 5 .$

Примечание.

Для нахождения угла можно воспользоваться теоремой косинусов:

$C_1D_1 в степени 2 =AC_1 в степени 2 плюс AD_1 в степени 2 минус 2AC_1 умножить на AD_1 умножить на косинус \angle C_1AD_1 равносильно 128=100 плюс 100 минус 2 умножить на 10 умножить на 10 умножить на косинус \angle C_1AD_1 равносильно$

$равносильно косинус \angle C_1AD_1= дробь, числитель — 9, знаменатель — 25 .$

Ответ: $2\arcsin дробь, числитель — 2 корень из 2, знаменатель — 5$ или $\arccos дробь, числитель — 9, знаменатель — 25 .$

4. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Высота этой призмы равна 6.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB₁ и параллельная прямой CA₁ проходит через середину ребра BC.

б) Найти угол между прямыми CA₁ и AB₁.

Решение.

Достроим треугольную прямую призму до четырехугольной прямой призмы, в основании которой ромб ABDC, составленный из двух равносторонних треугольников.

Полученная призма является прямым параллелепипедом. Поэтому $B_1D\parallel A_1C.$

а) Плоскость AB_1D параллельна прямой A_1C по признаку параллельности. Диагонали ромба ABDС пересекают друг друга посередине, поэтому плоскость AB_1D проходит через середину ребра BC.

б) $B_1D\parallel A_1C,$ значит, искомый угол AB_1D. Рассмотрим ромб ABDC: площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба S_ABDC = 64 синус 60 градусов=32 корень из 3. С другой стороны, площадь ромба можно найти как полупроизведение длин его диагоналей: S_ABCD = дробь, числитель — BC умножить на AD, знаменатель — 2 = 4AD, следовательно, AD = 8 корень из 3.

Из прямоугольного треугольника AA_1B_1 по теореме Пифагора находим: AB_1=10. Аналогично, B_1D=10. Значит, из равнобедренного треугольника

AB_1D, получаем

$\angleAB_1D=2\arcsin дробь, числитель — AD, знаменатель — 2 умножить на AB_1 =2\arcsin дробь, числитель — 2 корень из 3, знаменатель — 5 .$

Примечание 1.

Диагональ ромба можно было найти по теореме косинусов для треугольника ABD.

Примечание 2.

Для нахождения угла AB_1D можно применить в треугольнике AB_1D теорему косинусов:

$AD в степени 2 =AB_1 в степени 2 плюс B_1D в степени 2 минус 2AB_1 умножить на B_1D умножить на косинус \angleAB_1D равносильно$

$равносильно 64 умножить на 3=100 плюс 100 минус 2 умножить на 10 умножить на 10 умножить на косинус \angleAB_1D равносильно косинус \angleAB_1D= дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 ,$

откуда $\angleAB_1D=\arccos0,04.$

Ответ: $2\arcsin дробь, числитель — 2 корень из 3, знаменатель — 5$ или $\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 .$

5. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.

б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

Решение.

а) Пусть MF прямая параллельная прямой CL и F точка ее пересечения с AB. Тогда плоскость DMF параллельна прямой по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому: BF= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BL= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Это и требовалось доказать.

б) Искомый угол между прямыми DM и CL равен углу DMF. Обозначим угол DMF буквой α. MF= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CL= дробь, числитель — корень из 3, знаменатель — 4

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:

DF в степени 2 =DM в степени 2 плюс MF в степени 2 минус 2DM умножить на MF косинус альфа =BD в степени 2 плюс BF в степени 2 минус 2BD умножить на BF умножить на BF косинус 60 градусов.

Поскольку DM= дробь, числитель — корень из 3, знаменатель — 2 и BD=1, подставляя числовые данные, получим:

дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — 16 минус 2 умножить на дробь, числитель — корень из 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — корень из 3, знаменатель — 4 косинус альфа =1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 минус 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Откуда косинус альфа = дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 .

Ответ: $\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 .$

6. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен  дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 . Точка M — середина ребра SC, точка N — середина ребра AC.

а) Докажите, что угол между прямыми BM и SA равен углу BMN.

б) Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.

Решение.

а) Поскольку MN || SA по теореме о средней линии треугольника, угол BMN искомый.

б) Найдём стороны треугольника BMN. По теореме о средней линии треугольника MN= дробь, числитель — SA, знаменатель — 2 =3. По теореме косинусов из треугольника BSM получаем:

BM= корень из 36 плюс 9 минус 2 умножить на 6 умножить на 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 = корень из 41.

Чтобы найти BN, найдём сначала сторону основания по теореме косинусов из треугольника BSC:

BC= корень из 36 плюс 36 минус 2 умножить на 6 умножить на 6 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 = корень из 64=8.

Теперь BN=4 корень из 3 как высота в равностороннем треугольнике со стороной 8. Осталось вычислить косинус нужного угла:

$косинус \angle NMB= дробь, числитель — 9 плюс 41 минус 48, знаменатель — 2 умножить на 3 умножить на корень из 41 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 корень из 41 .$

Ответ:

7. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD проведена высота PH. N — середина отрезка AH, M — середина ребра AP.

а) Докажите, что угол между прямыми PH и BM равен углу BMN.

б) Длины всех ребер данной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM.

Решение

а) Пусть отрезок  — средняя линия треугольника APH, параллельная его стороне (см. рисунок).

Поскольку PABCD  — правильная пирамида, точка  — центр квадрата ABCD. Так как $PH\bot (ABC)$ и MN||PH, то $MN\bot (ABC),$ а, значит, $MN\bot BN,$ Прямые и параллельны, следовательно, угол между прямыми и равен углу между прямыми и BM, то есть острому углу BMN прямоугольного треугольника BMN.

б) Примем длину ребра данной пирамиды за тогда MB= дробь, числитель — корень из 3, знаменатель — 2 a,AH=PH= дробь, числитель — корень из 2, знаменатель — 2 a, MN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 PH= дробь, числитель — корень из 2, знаменатель — 4 a и, следовательно, $косинус \angle BMN= дробь, числитель — MN, знаменатель — MB = дробь, числитель — корень из 6, знаменатель — 6 ,\angle BMN=\arccos дробь, числитель — корень из 6, знаменатель — 6 .$

Ответ: $\angle BMN=\arccos дробь, числитель — корень из 6, знаменатель — 6 .$