Задачи на концентрации и смеси
Давайте сначала разберемся с понятием концентрации. Физическая энциклопедия приводит такое определение: концентрация - (от новолат. concentratio — сосредоточение), величина, определяющая отношение количества компонента (числа атомов или молекул, массы, числа молей) к объёму всей системы (двух- или многокомпонентного вещества - сплава, раствора, химического соединения, механической смеси и т. п.).
В математических задачах под концентрацией обычно понимается отношение массы активного вещества к массе всей смеси, выраженная в процентах. Например, 5% раствор кислоты - это раствор, в котором на 100 г смеси содержится 5 г чистой неразбавленной кислоты, на 1 л смеси - 50 мл неразбавленной кислоты. Еще один пример: железная руда содержит 15% чистого железа. Это значит, что в одном кг руды содержится 150 г чистого железа.
Наиболее часто ошибки в определении концентрации вещества в задачах, где дано процентное содержание не активного вещества, а воды. Например: свежие фрукты содержат 80% воды. Нужно понимать, что в этой задаче количество активного вещества ("сухого" вещества, "не воды") содержится 100-80=20%. То есть, если высушить свежие фрукты, испарив из них всю воду, то останется 20% от исходной массы. О этих задачах поговорим чуть позже.
Задачи на смешивание двух веществ
Достаточно часто встречаются задачи, в которых при смешивании двух веществ определенной концентрации получается третье вещество. Эта задача очень хорошо описывается формулой:
С1m1+C2m2=C3(m1+m2)
где С – концентрация вещества (%), m – масса вещества.
=====================================================================================================
Пример 1.
Имеются два сплава с содержанием цинка 15% и 22%. Какова будет концентрация цинка, если сплавить 90 кг первого и 50 кг второго сплава?
Решение:
C1 = 15%, C2 = 22%, m1 = 90, m2 = 50. Подставим эти значения в формулу:
15*90 + 22*50 = С*(90 + 50)
1350 + 1100 = 140*С
С = 2450/140
С = 17,5
Ответ: 17,5%
=======================================================================================================
Пример 2.
Сколько миллилитров 55% раствора уксуса нужно добавить к 500 миллилитрам 1% раствора, чтобы получить 5% раствор уксуса?
Решение:
C1 = 55%, C2 = 1%, C3 = 5%, m1 = x, m2 = 500
55x + 500 = 5(x + 500)
55x + 500 = 5x + 2500
50x = 2000
x = 400
Ответ: 400 мл.
Задачи для самостоятельного решения
- Сколько кг меди содержится в 100 кг 5% медной руды? Ответ - число. Единицы изменения в ответе не указывайте.
- В воде растворили 20 г соли. Каково процентное содержание соли в растворе массой 1 кг? Знак % в ответе не указывайте
- При варке варенья на 2 части ягоды берут 3 части сахара. Каково процентное содержание сахара в варенье?
- Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди? В ответ запишите число, которому равно это отношение. Подсказка: неизвестные массы можно обозначить переменными.
- Смешали некоторое количество 12% раствора вещества с таким же количеством 22% раствора этого же вещества. Какова концентрация (в процентах) вещества в новом растворе?
- Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
- Сколько килограммов меди нужно добавить к куску бронзы массой 8 кг и содержащему 13% меди, чтобы повысить содержание в нем меди до 25% от общей массы? Примечание: считайте концентрацию чистой меди равной 100%
- Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Ответы: 1) 5; 2) 2; 3) 60; 4) 11; 5) 21; 6) 2; 7) 17; 8) 16; 9) 1,28; 10) 8,7
Разбавление вещества водой
Часто встречаются задачи, в которых какое-либо вещество разводится водой. Эти задачи тоже легко решаются по той же формуле:
Только нужно помнить, что в абсолютно чистой воде, применение которой подразумевается в данных задачах, концентрация посторонних веществ равна нулю.
===================================================================================================
Пример 1.
В сосуд, содержащий 8 литров 14% раствора кислоты, добавили 12 литров воды. Сколько процентов кислоты содержится в новом растворе?
Решение.
С1 = 14, m1 = 8, C2 = 0, m2 = 12. Подставляем эти значения в формулу:
14*8 + 0* 12 = С*(8 + 12)
112 = 20С
С = 112/20 = 5,6%
Ответ: 5,6
======================================================================================================
Пример 2.
В каком отношении нужно взять 96% раствор уксусной кислоты и воду, чтобы получить 6% раствор для использования в кулинарии?
Решение. В задаче известны только концентрации исходного и требуемого раствора, поэтому массы обозначим переменными.
96х + 0у = 6(х + у)
96х = 6х + 6у
90х = 6у
х:у = 6:90
Сократив это отношение, получаем, что раствор уксусной кислоты нужно развести водой в отношении 1:15.
Ответ. 1:15
========================================================================================================
Формулу можно применять и для большего количества веществ, например, для смешивания трех веществ.
Пример 3.
Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?
Решение. В задаче явно прослеживаются два условия, поэтому составим систему уравнений с двумя переменными, обозначив за х и у массы первого и второго растворов кислоты.
60х + 30у +0*5 = 20(х + у + 5)
60х + 30у + 90*5 = 70(х + у + 5)
Решая эту систему, получаем, что х = у = 2. Значит, взяли 2 кг 60%-го раствора.
Ответ. 2
Задачи для самостоятельного решения
- В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Высушивание вещества
При высушивании вещество теряет массу за счет испарения воды. А так как концентрация воды равна нулю, то соответственно концентрация получившегося после сушки вещества увеличивается пропорционально потере массы. Формула, описывающая процесс сушки практически такая же, изменяем сумму на разность
Если учесть, что вычитаемое вещество - вода, с концентрацией, равной нулю, то формулу сушки можно упростить до следующей:
 , где С1m1 - исходное вещество, а C2m2 - полученное в результате сушки вещество.
******************************************************************************************************************************************
Внимание!!! В задачах на высушивание обычно дано процентное содержание воды. Поэтому наиболее распространена ошибка - в формулу вместо концентрации подставляют процентное содержание воды. Не забудьте посчитать концентрацию вещества, вычтя из 100% процентное содержание воды.
******************************************************************************************************************************************
Пример 1.
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Решение.
Концентрация винограда составляет 100 - 90 = 10%, а концентрация изюма - 100 - 5 = 95%. Подставим эти значения в формулу.
10х = 95*20
х = 190
Получается, что потребуется 190 кг винограда.
Ответ: 190
========================================================================================================
Пример 2.
Огурцы, содержащие 99% воды, из-за неправильного хранения потеряли 1% воды. Во сколько раз уменьшилась их масса?
Решение.
Первоначально концентрация была равна 100 - 99 = 1%. Затем процентное содержание воды уменьшилось на 1%, то есть стала 98%. Значит, концентрация увеличилась: 100 - 98 = 2%. Подставим эти значения в формулу:
1х = 2у
х:у = 2:1
Получаем шокирующий ответ: масса огурцов уменьшилась вдвое!
Задачи для самостоятельного решения
- Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?
- Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
| 
Главная 